$1$. $\text{Weird repeating decimal function}$

$$ f(x) = \begin{cases} 0.\dot{1}, & \text{if } x = 1 \\ 0.(\dot{f(x-1)}), & \text{if } x > 1\end{cases} $$

일 때, $f(988) = \frac{1}{3^a}$ 이다. 정수 $a$ 를 구하여라.

$2$. $\text{Pentagon}$

오각형의 각 꼭짓점에 어떤 정수가 새겨져있다. 다섯 개의 점의 정수의 합은 양수이다. 세 개의 연속적인 점에 새겨진 정수 $x, y, z$ 에 대해 $y < 0$ 이라면 당신은 $x, y, z$ 를 $x + y, -y, z + y$ 로 바꿀 수 있다. 이 작업을 당신은 무한히 할 수 있다. 당신은 유한한 작업 횟수로 오각형의 각 꼭짓점에 새겨진 정수를 모두 양수로 바꿀 수 있는가?

$3$. $\text{Insane Integer Maker}$

$$ \frac{m^2}{2mn^2 - n^3 + 1} \text{ is integer} $$

를 만족하는 정수 쌍 $(m, n)$ 을 모두 구하시오.

$4$. $\text{Insane Factor Maker}$

정수 $N$ 에 대해 $2000$ 개의 소수로 나누어 떨어지는 정수 $N$ 을 찾아라. 단, $N$ 은 $2^N + 1$ 의 배수이다. ( $N$ 은 소수의 제곱으로 나뉠 수 있다. )